- Рефлексивное пространство
-
Рефлексивное пространство — банахово пространство , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным .
Содержание
Определение
Пусть — пространство, сопряженное с , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на . Если — значение функционала на элементе , то при фиксированном и , пробегающем , выражение будет линейным функционалом на , то есть элементом пространства . Пусть — множество таких функционалов. Соответствие есть изоморфизм, не меняющий нормы .
Если , то пространство называется рефлексивным.
Примеры
- Пространства и , , рефлексивны,
- Пространства , не рефлексивны.
Свойства
- Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно.
- Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
- Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например .
- Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.
Вариации и обобщения
- Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.
Литература
- Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
- Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
- Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
Категории:- Функциональный анализ
- Теории двойственности
Wikimedia Foundation. 2010.