Сопряжённое пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве $E$, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^*$.

Свойства

• В конечномерном случае сопряжённое пространство $E^*$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$ над полем $F$:

  любому базису $\{ e^i \}_{i=1}^n$ из $E$ можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис $\{ e_i \}_{i=1}^n$ из $E^*$, где функционал $e_i\,$ — проектор на вектор $\,e^i$:

  $e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E$

• Если пространство $E$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^*$.
• Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^*$.
• В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому $E^{**}$, совпадает с $E$ (точнее, существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{**}$).

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства $E$ обозначают вектором-столбцом, а элементы $E^*$ — вектором-строкой ^{[источник не указан 581 день]}. В тензорном исчислении применяется обозначение $x^k$ для элементов $E$ (верхний, или контравариантный индекс) и $x_k$ для элементов $E^*$ (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения

• В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство $\bar E$, совпадающее с $E$ как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  ${\bar c} {\bar x} = \overline{cx}$

  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

Ссылки