- Моменты случайной величины
-
Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Содержание
Определения
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- -м нача́льным моментом случайной величины где называется величина
-
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
- -м центра́льным моментом случайной величины называется величина
- -м абсолю́тным и -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины
-
- и
- -м факториальным моментом случайной величины (Стефенсен) называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.[1]
Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых , но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.
Замечания
- Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
- и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов
- равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
-
- называется коэффициентом асимметрии.
- контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
-
- называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов
- Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
если
- Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
Обобщения
Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.
Примечания
- ↑ Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.
Статистические показатели Описательная
статистикаНепрерывные
данныеКоэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные
данныеЧастота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотезСтатистический
выводДоверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
экспериментаГенеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерииZ-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.