Координаты Борна

Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами $(T,\,\Phi)$, в которых метрика имеет вид:

$ds^2 = dT^2 - R^2\,d\Phi^2$

($R$ — радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

$\Phi = \varphi + \omega T$,

где $\Phi$ — угловая координата в пространстве, $\varphi$ — положение точки на окружности, $\omega$ — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем $\varphi$), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

$\sqrt{1 - \omega^2 R^2}\ T.$

Координатами Борна на окружности называется система координат $(T,\;\varphi)$. Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

$ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, R^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, R^2 \, dT \, d\varphi - R^2 \, d\varphi^2.$

Вращение диска в специальной теории относительности

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые — мировые линии точек диска (фиксированы $\scriptstyle {r,\;\varphi}$). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение $\scriptstyle T$. Оранжевые кривые (/ \) — светоподобные кривые с постоянным $\scriptstyle r$. Внизу справа — трёхмерное изображение. Сверху — развёртки цилиндров для трёх разных $\scriptstyle r$, повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.

Основная статья: Парадокс Эренфеста

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: $r$.

При этом $\omega$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса $r$.

Метрика будет выглядеть как

$ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, r^2 \, dT \, d\omega - dr^2 - r^2 \, d\varphi^2.$

На рисунке видно, как с возрастанием $r$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат $(T,\;\varphi)$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» $T$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить $\frac c\omega$, поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты $(T,\;\varphi)$ не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от $T$, синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится»^[1]. На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату $T$ приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от $r$. Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

См. также

• Координаты Риндлера

Примечания

1. ↑ Строго говоря, из этого следует, что мы не можем идеально синхронизовать часы даже на всей поверхности Земли, так как планета вращается. Эффект разницы скорости света с востока на запад и с запада на восток относительно земного времени подтверждается сверхточными измерениями.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М.: Физматгиз, 1962. — 424 с. — («Теоретическая физика», том II).