Матричный элемент

Матричным элементом квантово-механического оператора $\hat{A}$ называется выражение

$\langle i|\hat{A}|j\rangle=\int\psi_i^{*}\hat{A}\psi_jd\tau$,

где $\psi_{i(j)}$ - две различные волновые функции, которые обычно выбираются из определенного ортонормированного базиса, а интегрирование проводится по пространству, определенном всеми переменными системы.

Матричный элемент произведения двух операторов

Если $|I\rangle$ составляют ортонормированный базис, то, воспользовавшись условием полноты базиса, можно записать

$\langle i|\hat{A}\hat{B}|j\rangle =\sum_k\langle i|\hat{A}|k\rangle\langle k|\hat{B}|j\rangle$,

что соответствует правилу умножения матриц.

Значение в квантовой механике

Исторически понятие матричного элемента сложилось в период развития матричной механики Гейзенберга, в рамках которой квантово-механическая система описывалась целиком бесконечным набором возможных состояний, взаимодействие между которыми задавалась посредством определенной матрицы, тоже в общем бесконечного ранга. После открытия уравнения Шредингера, были выведены приведенные выше общие правила для получения матричных элементов.

Матричными элементами в основном описываются амплитуды вероятности перехода квантово-механической системы из одного состояния в другое.