Размерность Лебега

У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения).

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $X$ обычно обозначается $\dim X$.

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства $X$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$, обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon>0$ существует конечное открытое $\varepsilon$-покрытие $X$, имеющее кратность $\leqslant n+1$;

При этом

• $\varepsilon$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$, а
• кратностью конечного покрытия пространства $X$ называется наибольшее такое целое число $k$, что существует точка пространства $X$, содержащаяся в $k$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства $X$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности $n+1$.

При этом покрытие $\mathcal P$ называется вписанным в покрытие $\mathcal Q$, если каждый элемент покрытия $\mathcal P$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $\mathcal Q$.

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность $n$-мерного куба равна $n$. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim X$ (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973