- Дуальность Ходжа
-
Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.
Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.
Содержание
Определение
Вспомогательные определения
Определим форму объёма
где - неотрицательный скаляр на многообразии M, а - полностью антисимметричный символ. . Даже в отсутствие метрики при f(X)>0 можно определить контравариантые компоненты формы объёма.
здесь антисимметричный символ совпадает .
В присутствии метрики Ω с поднятыми индексами может отличаться от на знак: . Здесь и далее σ = sgndet(gmk)
Введём операцию антисимметризации:
- . Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности sgn(σ). Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ; .
Определим теперь тензоры:
Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.
Общее определение звезды Ходжа
Используя форму объёма Ω и поливектор можно ввести операцию * , превращающую поливектор B степени p в дифференциальную форму * B степени n − p, и обратную операцию * − 1, превращающую форму A степени q в поливектор * − 1A степени n − q
- * B = (Ω,B)(p)
Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:
Поскольку * − 1 * B = B и * * − 1A = A, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q
Помимо операторов * и * − 1 введём пару операторов: и , отличающихся от них знаком.
Звезда Ходжа в присутствии метрики
Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика gmk. Обозначим g = det(gmk).
Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой gmk называется форма В компонентах:
Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:
Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.
Дополнительные операторы
Свойства звёздочки Ходжа
Источники
- Лекции М.Г.Иванова по курсу "Геометрические методы в классической теории поля". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html
Wikimedia Foundation. 2010.