- Лапласиан
-
Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .
Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора Набла на себя. Оператор Лапласа эквивалентен также последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке.
Содержание
Другое определение оператора Лапласа
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора
- при ,
- при
вторая производная есть предел
Eсли, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, т.е. для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим
функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
- где - объём окресности
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в [1].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :
- где — коэффициенты Ламе.
Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах вне прямой :
Сферические координаты
В сферических координатах вне начала отсчёта:
или
В случае еслиПараболические координаты
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Цилиндрические параболические координаты
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение, хотя наиболее простой вид последнее принимает с использованием оператора Д'Aламбера (Даламбертиана). Впрочем, последний представляет собой не более, чем оператор Лапласа в пространстве Минковского (формально пространство Минковского можно ввести для любого поля, подчиняющегося волновому уравнению, хотя, конечно, параметр c может быть в каждом конкретном случае своим, например, скорость звука).
В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, пленок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся в непрерывном пределе к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации и обобщения
См. также
Литература
- ↑ Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968г. 208с.
Внешние ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.