Дивергенция

У этого термина существуют и другие значения, см. Дивергенция (значения).

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю $\ \mathbf F$, обозначают как

$\ \operatorname{div} \mathbf F$

или

$\ \nabla \cdot \mathbf F$.

Определение

Определение дивергенции выглядит так:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{V \rightarrow 0} {\mathit\Phi_{\ \mathbf F} \over V}$

где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

$\mathit\Phi_{\ \mathbf F} = \iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\; (\vec F, d\vec S)$.

Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.

Определение в декартовых координатах

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}\ \ \$

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\nabla\cdot \mathbf{F}\ \ \$

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

Физическая интерпретация

С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} >0$ — точка поля является источником;

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} <0$ — точка поля является стоком;

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =0$ — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).

Геометрическая интерпретация

Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Дивергенция в физике

Дивергенция - одна из наиболее широко употребимых в физике операций. Представляет собой одно из достаточно немногих базовых понятий теоретической физики и является одним из базовых элементов физического языка.

В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).

В электродинамике дивергенция входит в качестве главной конструкции в два из четырёх уравнений Максвелла. Основное уравнение теории ньютоновской гравитации в полевом виде также содержит в качестве основной конструкции дивергенцию (напряженности гравитационного поля). В тензорных теориях гравитации (включая ОТО, и имея в виду в первую очередь её) основное полевое уравнение (в ОТО, но как правило - так или иначе - и в альтернативных современных теориях тоже) также включает в себя дивергенцию в некотором обобщении. То же можно сказать о классической (т.е. неквантовой) теории практически любого из фундаментальных полей, как экспериментально известных, так и гипотетических.

Помимо этого, как видно из приведённых выше примеров, дивергенция применима и в чисто геометрическом плане, а также - особенно часто - к различным материальным потокам (дивергенция скорости течения жидкости или газа, дивергенция плотности электрического тока и т.п.).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

• Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$ или

$\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).$

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),$ или

$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

• Дивергенция от градиента есть лапласиан:

$\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi$

• Дивергенция от ротора:

$\operatorname{div} (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0$

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) =$

$= \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right]$, где $H_i$ — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}$.

Отсюда:

$\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(A_r r) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(A_z)$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1 \\ H_\theta = r \\ H_\phi = r\sin{\theta} \end{matrix}$.

Отсюда:

$\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ A_r r^2 \right] + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ A_\theta \sin{\theta} \right] + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \big[ A_\phi\big]$

Параболические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix} H_1 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\xi}} \\ H_2 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\eta}} \\ H_3 = \sqrt{\eta \xi} \end{matrix}$.

Отсюда:

$\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = \frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \frac{\sqrt{\xi^2+\xi\eta}}{2} \right] + \frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \frac{\sqrt{\eta^2+\xi\eta}}{2} \right] + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]$

Эллиптические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix} H_1 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{\xi^2-1}} \\ H_2 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{1-\eta^2}} \\ H_3 = \sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} \end{matrix}$.

Отсюда:

$\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = \frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(\xi^2-1)} \right] +$

$\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(1-\eta^2)} \right] + \frac{1}{\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]$

Дивергенция в произвольных криволинейных координатах и её обобщение

Формулу для дивергенции векторного поля в произвольных координатах (в любой конечной размерности) нетрудно получить из общего определения через предел отношения потока к объёму, воспользовавшись тензорной записью смешанного произведения и тензорной формулой объёма.

Существует обобщение операции дивергенции на действие не только на векторы, но и на тензоры более высокого ранга.

В общем случае дивергенция определяется ковариантной производной:

$\operatorname{div} = (\nabla\cdot) = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot$, где $\vec{R}^\alpha$ — координатные векторы.

Это позволяет находить выражения для дивергенции в произвольных координатах для векторного:

$\nabla\cdot\vec{v} = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot v^i \vec{R}_i = \nabla_i v^i$.

или тензорного поля:

$\nabla\cdot T = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha \cdot T^{ij} \vec{R}_i \vec{R}_j = \vec{R}_j \nabla_i T^{ij}$.

В общем случае, дивергенция понижает ранг тензора на 1.

Свойства дивергенции тензора

$\nabla\cdot\vec{v}\vec{v} = \vec{v}\nabla\cdot\vec{v} + \left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Ротор
• Градиент
• Оператор набла
• Лапласиан
• Формулы векторного анализа