Ковариантная производная

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля $T$ в направлении касательного вектора ${\mathbf v}$ обычно обозначается $\nabla_{\mathbf v}T$.

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции $f$ ковариантная производная ${\nabla}_{\mathbf{v}} f$ совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля $\mathbf{v}$.

Векторные поля

Ковариантная производная $\nabla$ векторного поля ${\mathbf u}$ по направлению векторного поля ${\mathbf v}$, обозначаемая $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ определяется по следующим свойствам, для любого вектора $\mathbf{v}$, векторных полей $\mathbf{u}$, $\mathbf{w}$ и скалярных функций $f$ и $g$:

1. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ линейно по отношению к ${\mathbf v}$, то есть $\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}$
2. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ аддитивно относительно ${\mathbf u}$, то есть $\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}$
3. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ подчиняется правилу произведения, то есть $\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f$, где $\nabla_{\mathbf v}f$ определено выше.

Замечание

Заметим, что $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ в точке $p$ зависит только от значения $\mathbf{v}$ в точке $p$ и от значений $\mathbf{u}$ в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).

Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) $\alpha$, его ковариантная производная $\nabla_{\mathbf v}\alpha$ может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей $\mathbf{u}$

$\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля $\mathbf{v}$ — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ($\varphi$ и ${\psi}$ — произвольные тензоры):

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),$

Если $\varphi$ и $\psi$ — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.$

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа $(p,q)$ задано своими компонентами ${T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}(\mathbf{x})$ в некоторой локальной системе координат $x^k$, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа $(p,q+1)$, который определяется по формуле:

$\nabla_\ell{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1\ldots k\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1\ldots m\ldots j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}$

где $\Gamma^{k} {}_{ij}$ — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля $V^m\$ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

$\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\$

Ковариантная производная скалярного поля $\varphi\$ совпадает с частной производной,

$\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\$

а ковариантная производная ковекторного поля $\omega_m\$ -

$\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\$

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

$\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\$

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа $(2,0)$ $A^{ik}\$ равна

$\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \$

то есть

$A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \$

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

$A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \$

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа $(0,2)$,

$A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \$

См. также

• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Символы Кристоффеля
• Оператор набла в различных системах координат

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.