Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

• Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
• Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

• Ротор и дивергенция — для векторных полей.
• Градиент, лапласиан — для скалярных полей.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Ротор	$\operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$	Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор $\Rightarrow$ вектор
Дивергенция	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$	Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор $\Rightarrow$ скаляр
Градиент	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$	Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр $\Rightarrow$ вектор
Лапласиан	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$	Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр $\Rightarrow$ скаляр

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема	Запись	Пояснения
Теорема о градиенте	$\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}.$	Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина	$\oint\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса	$\int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$	Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса	$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},$	Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор $\nabla$ («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

• Вектор-функция
• Векторное исчисление
• Градиент
• Дивергенция
• Дифференциальная геометрия
• Оператор набла
• Поверхность
• Ротор
• Формулы векторного анализа
• Векторное исчисление

Литература

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.

Ссылки

• Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf)
• Статья по векторному анализу на Astronet