Ортогональная система координат

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

$ds^{2} = \sum_{k=1}^{d} \left( h_{k} dq^{k} \right)^{2}$

где d

$h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|$

В ортогональных системах координат q = (q¹, q², …, q^d) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

$e_{i}\cdot e_{j}=0,\begin{matrix} {} & i\ne j \\ \end{matrix}$ В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых $e_{i}^{\left( n \right)}=\frac{e_{i}}{\left| e_{i} \right|}$

Для нормированных базисных векторов $e_{i}\cdot e_{j}=\delta _{ij}$, где

$\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

$\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum h_i^2 x^i y^i = \sum \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum x^i y_i = \sum x_i y^i$

Векторное произведение

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле:

$\mathbf x \times \mathbf y = \sum x^i \mathbf e_i \times \sum y^i \mathbf e_i = \sum x^i h_i \hat \mathbf e_i \times \sum y^i h_i \hat \mathbf e_i$