Символ Кронекера

У этого термина существуют и другие значения, см. Символ Кронекера (значения).

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае^[1].

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{matrix}\right.$

Например, $\delta_{12} = 0 \$, но $\delta_{33} = 1 \$.

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса $(e_i, e_j) = \delta_{ij}$, а также - в общем случае - для определения дуальных базисов $(e_i, f^j) = \delta_i^j$ где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: $(\delta_{ij})_{i,j=1}^n$ (элементы единичной матрицы записываются как $\delta_{ij}\$).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как тензор. В частности, могут использоваться различные написания $\delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij}$ для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров; соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера! Иначе говоря, в общем случае $\delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij}$ - не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)^[2].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году^[1].

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Символ Крокенера — статья из Большой советской энциклопедии
2. ↑ Последнее верно лишь для случая положительно определенных метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).