Гиперреальное число

Определение

Термин «гипер-реальное» (так в оригинале) был введен американским математиком Э.Хьюиттом в 1948.^[1].

Система гиперреальных чисел (назваемых также гипердействительными или гипервещественными) представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гиперреальных чисел *R является расширением поля вещественных чисел R, которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде

$1 + 1 + \cdots + 1. \,$

Такое множество бесконечно, а обратное ему бесконечно мало.

Гиперреальные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности Г.Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об R справедливы и для *R. Например, правило аддитивности х + у = у + х, справедливо для гиперреальных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося 1955.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности метод исчерпывания. В 1960 А.Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гиперреальных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования сложных логических конструкций. Так, производная F(X) становится $f'(x) = {\rm st}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right)$ для бесконечно малого $\Delta x$, где st(·) означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гиперреальное число с уникальным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гиперреальных чисел

Положим, что X является тихоновским пространством, которое также называется T_3.5 пространством, а С (Х)-алгебра непрерывных вещественных функций на X. Пусть М есть максимальный идеал в С (Х). Тогда факторкольцо A = C (X) / М, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если F строго содержит R, то М называется гиперреальным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а F — гиперреальным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля F больше, чем у поля R, они могут на самом деле имеют одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство X является дискретным пространством, в этом случае X можно отождествить с мощностью множества κ и C(X) с реальной алгеброй $\Bbb{R}^\kappa$ функций κ от R. Гиперреальные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями R и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Примечания

1. ↑ Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)

Литература

• Ball, W.W. Rouse (1960), «A Short Account of the History of Mathematics» (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.), New York: Dover Publications, сс. 50–62, ISBN 0-486-20630-0 
• Hatcher, William S. (1982) «Calculus is Algebra», American Mathematical Monthly 89: 362—370.
• Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Jerison, Meyer & Gillman, Leonard (1976), «Rings of continuous functions», Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90198-5 
• Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
• Kleinberg, Eugene M. & Henle, James M. (2003), «Infinitesimal Calculus», New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42886-4