Суперреальное число

В абстрактной алгебре, суперреальные числа представляют собой расширение класса вещественных чисел, введенное Г. Делзом и У. Вудиным как обобщение гиперреальных чисел, преимущественно для задач нестандартного анализа, теории моделей, а также изучения банаховых алгебр. Множество суперреальных чисел является подмножеством множества сюрреальных чисел.

Суперреальные числа Г. Делза и У. Вудина отличаются от супер-реальных чисел Д. Толла, которые являются лексикографическим порядком фракций формальных степенных рядов над полем вещественных чисел.^[1]

Формальное определение

Положим, что X является тихоновским пространством, которое также называется T_3.5 пространством, а С (Х)-алгебра непрерывных вещественных функций на X. Предположим, что P является простым идеалом в С (Х). Тогда факторкольцо A = C (X) / P, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Кольцо частных F от А является суперреальным полем, если F строго содержит вещественные числа $\Bbb{R}$, и F не изоморфно $\Bbb{R}$.

Если простой идеал P является максимальным идеалом, то F является полем гиперреальных чисел.

Примечания

1. ↑ David Tall, "Looking at graphs through infinitesimal microscopes, windows and telescopes, " Mathematical Gazette, 64 22- 49, reprint at http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/downloads.html

Литература

• Dales, H. Garth; Woodin, W. Hugh (1996), Super-real fields, London Mathematical Society Monographs. New Series, 14, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853991-9, MR1420859, http://www.oup.com/us/catalog/general/subject/Mathematics/PureMathematics/?view=usa&ci=9780198539919
• L. Gillman and M. Jerison: Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, 1960.