Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Пример

Возьмём $4k$-мерное многообразие Милнора $W^{4k}$, $k>1$; $W^{4k}$ параллелизуемо, его сигнатура равна $8$, и его край $M=\partial W^{4k}$ гомотопически эквивалентен сфере $S^{4k-1}$. Подклейка к $W^{4k}$ конуса $C(M)$ к $\partial W^{4k}$ приводит к пространству $P^{4k}$. При этом, так как $M$ есть кусочно линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то $C(M)$ кусочно линейный шар, так что $P^{4k}$ — кусочно линейное многообразие. С другой стороны, $P^{4k}$ есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) $4k$-мерного многообразия кратна числу $\sigma_k$, экспоненциально растущему с ростом $k$.

В частности, многообразие $M$ не диффеоморфно сфере $S^{4k-1}$.

Критерий сглаживаемости кусочно линейного многообразия

Пусть $O_n$ — ортогональная группа, a $PL_n$ — группа сохраняющих начало кусочно линейных гомеоморфизмов $\R^n$. Включение $O_n\to PL_n$ индуцирует расслоение $BO_n \to BPL_n$, где $BG$ — классифицирующее пространство группы $G$. При $n\to\infty$ получается расслоение $p : BO_n \to BPL_n$, слой которого обозначается через $M/O$. Кусочно линейное многообразие $X$ обладает линейным стабильным нормальным расслоением $\nu$, классифицируемым отображением $\nu : X\to BPL_n$. Если же $X$ является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением $\bar\nu$, классифицируемым отображением $\bar\nu : X \to BO_n$, причем $p\circ\bar\nu=\nu$. Это условие также и достаточно, то есть

• Замкнутое кусочно-линейное многообразие $X$ сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение $\nu : X \to BPL_n$ «поднимается» в $BO_n$ (то есть существует такое $\bar\nu : X \to BO_n$, что $p\circ\bar\nu=\nu$).

См. также

• Сфера Милнора

Литература

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
• Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проверить достоверность указанной в статье информации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.