Позиционная система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская Индийские Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая	Греческая Эфиопская Еврейская Катапаяди
Другие системы
Вавилонская Египетская Этрусская Римская	Аттическая Кипу Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

История

См. также: Системы счисления разных народов

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Определение

Позиционная система счисления определяется целым числом $b > 1$, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием $b$ также называется $b$-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Представление числа

Целое число без знака $x$ в $b$-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа $b$^[1]:

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k$, где $\ a_k$ — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \le b-1.$

Каждый базисный элемент $\ b^k$ в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) $\ k$ (значением показателя степени).

Например, число сто три в десятичной системе счисления и в восьмеричной системе счисления записываются почти одинаково, а представляются по разному:

$103_{10} = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0},$

$103_{8} = 1 \cdot 8^{2} + 0 \cdot 8^{1} + 3 \cdot 8^{0}= 67_{10}.$

Запись числа

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число $\ x$ записывают в виде последовательности его $b$-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо^[1]:

$x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.$

В ненулевых числах $\ x$ левые нули обычно опускаются.
Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:

$x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{0\ b}.$

Построение такой записи числа называют позиционным кодированием числа, а саму запись — позиционным кодом числа.
Количество записываемых кодов такой записью определяется в комбинаторике и равно количеству размещений с повторениями:

$\bar{A}(c,n)= \bar{A}_c^n =c^n$, где

$c$ — размерность множества из которого берутся цифры $a_k=\{0,1,...,c-1\}$ ( основание системы кодирования),
$n$ — количество цифр $a_k$ в записи.
При $b=c$ и показательной весовой функции $b^n=c^n$, при этом образуются системы счисления с равномерным распределением чисел на числовой оси c расстояниями между соседними числами на числовой оси равными $1$. Из-за этих двух свойств такие системы счисления получили наибольшее распространение.

С помощью $n$ позиций в $b$-ричной системе счисления с $b=c$ можно записать целые числа в диапазоне от $0$ до $b^n-1$ ($c^n-1$), то есть всего $c^n=b^n$ различных чисел с расстояниями между соседними числами на числовой оси равными $1$.

Примеры

• 1 — единичная (унарная) система счисления, может рассматриваться как вырожденный случай позиционной системы счисления^{[источник не указан 869 дней]}.
• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании)
• 3 — троичная система счисления
• 4 — четверичная система счисления
• 8 — восьмеричная (в программировании)
• 10 — десятичная система счисления
• 12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас)
• 16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах)
• 40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности: в частности, «сорок сороков» = 1600)
• 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты, измерение времени)

Запись чисел

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

$123_{10}$ — это число 123 в десятичной системе счисления;

$173_8$ — то же число в восьмеричной системе счисления;

$1111011_2$ — то же число, но в двоичной системе счисления;

$0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}$ — то же число, но в десятичной системе счисления с двоичным кодированием десятичных цифр (BCD);

$11120_{3N}$ — то же число, но в несимметричной троичной системе счисления;

$1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}$ — то же число, но в симметричной троичной системе счисления, знаки "i", "7", "2" и "-" обозначают "-1", знаки "1" и "+" обозначают "+1".

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

• в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
• в Паскале знаком «$» в начале числа;
• в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

В русских счётах для записи чисел в десятичной показательной позиционной системе счисления применяется унарнодесятичная система записи (представления) десятичных цифр с одной избыточной унарнодесятичной цифрой «1111111111»=$10_{10}$ на каждый разряд.

Экономичность

В цифровой технике система счисления с основанием $b$ реализуется регистрами, состоящими из наборов триггеров, каждый из которых может принимать $b$ различных состояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение приобретает экономичность системы счисления — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.^[1] Если количество триггеров равно $r$, то общее количество знаков равно $m=r\cdot b$, а количество представимых ими чисел соответственно — $b^r=b^{\frac{m}{b}}$. Как функция от $b$, это выражение достигает максимума при $b$ равном числу e = 2,718281828…. При целых значениях $b$ максимум достигается для $b = 3$. Таким образом, наиболее экономичной является троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ) и четверичная система счисления.

Экономичность системы счисления — немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована[2] в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.[1] С. В. Фомин

Эквивалентное описание экономичности системы счисления можно получить, используя понятие информационной энтропии. При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи n-разрядного числа в системе счисления с основанием b принимает значение $n\tfrac{\ln b}{b}$ (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть, количество информации на один разряд) чисел в системе счисления с основанием b равна $\tfrac{\ln b}{b}$, которая также принимает максимальное значение при b = e, а для целых значений b — при b = 3.

Свойства

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

• Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо к унарной системе счисления, в которой используется только одна цифра.
• Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется $\lfloor\log_b x\rfloor + 1$ цифр, где $\lfloor\cdot\rfloor$ означает взятие целой части числа.
• Естественный порядок на натуральных числах соответствует лексикографическому порядку на их представлениях в позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представления можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом. Например, для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной системе счисления нужно сравнивать цифры в одинаковых разрядах слева направо:
  • 3 = 3 — результат сравнения чисел пока не определён;
  • 2 > 1 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).
• Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе. (См., например, деление столбиком).

Переход к другому основанию

Перевод в десятичную систему счисления

Если число в $b$-ричной системе счисления равно

$a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

$\sum_{k=0}^{n-1} a_k\cdot b^k$

или, в более наглядном виде:

$a_{n-1}\cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,$

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

$((\ldots(a_{n-1} \cdot b + a_{n-2}) \cdot b + a_{n-3}) \ldots ) \cdot b + a_0.$

Например:

101100₂ =

= 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ =

= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =

= 32 + 8 + 4 + 0 = 44₁₀

Перевод из десятичной системы счисления

Целая часть

1. Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть

1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример

$44_{10}$ переведём в двоичную систему:

44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное  5, остаток 1
 5 делим на 2. частное  2, остаток 1
 2 делим на 2. частное  1, остаток 0
 1 делим на 2. частное  0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число $101100_2$

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:

000 0 100 4
001 1 101 5
010 2 110 6
011 3 111 7

Для шестнадцатеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2⁴=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Пример:

преобразуем 1011002
восьмеричная — 101 100 → 548
шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем
548 → 101 100
2C16 → 0010 1100

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011₂ будет выглядеть как 14,3₈ или C,6₁₆.

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011₂ в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

$0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.$

Итак, число 1100,011₂ = 12,375₁₀.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а результат потом конкатенируют.

Перевод из десятичной системы в произвольную

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103₁₀ = 1100111₂.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 101₂. Поэтому 103,625₁₀ = 1100111,101₂

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Вариации и обобщения

Системы счисления с равномерно распределёнными на числовой оси числами с расстояниями между соседними числами не равными 1

Если нужна система счисления с равномерно распределёнными на числовой оси числами с расстояниями между соседними числами не равными 1, то нужно ввести дополнительный весовой коэффициент $d$:

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^kd$,

при этом расстояния между соседними числами на числовой оси будут равны $d$, а перекрываемый числами диапазон от $0$ до $(c^n-1)\cdot d=(b^n-1)\cdot d$.

Запись рациональных чисел

Рациональное число $x$ в $b$-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа $b$:

$x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}$

где $a_k$ — цифры целой части (до запятой), $c_k$ — цифры дробной части (после запятой), $n$ — число разрядов целой части.

Конечной записью в $b$-ричной системе счисления обладают только рациональные числа, представимые в виде $\frac{q}{b^m}$, где $m$ и $q$ — целые числа:

$\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},$

где $(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b$ и $(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b$ представляют $b$-ричные записи соответственно частного и остатка от деления $q$ на $b^m$.

Рациональные числа, не представимые в виде $\frac{q}{b^m}$, записываются в виде периодических дробей.

Симметричные системы счисления

Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления отличаются тем, что используют цифры не из множества $(0, 1, \ldots, b-1)$, а из множества $\left(0-\left(\frac{b-1}{2}\right),1 -\left(\frac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\frac{b-1}{2}\right)\right)$. Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы $b$ было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа.^[3] Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами $(-1,0,1)$. Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».

Отрицательные основания

Основная статья: Нега-позиционная система счисления

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными:

• -2 — нега-двоичная система счисления
• -3 — нега-троичная система счисления
• -10 — нега-десятичная система счисления

Нецелочисленные основания

Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: рациональными, иррациональными, трансцендентными.

Примерами таких систем счисления являются:

• при b = ⅓ — система счисления с рациональным дробным основанием, позволяет на троичных реверсивных регистрах сдвига производить операции умножения и деления на целые числа ^{[источник не указан 1064 дня]},
• при b = ½ — система счисления с рациональным дробным основанием^{[источник не указан 1064 дня]},
• при b = φ = 1,61… — система счисления Бергмана с иррациональным основанием равным «золотому сечению».^[4]

Комплексные основания

Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные^{[5] [6]} числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного множества, удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.

В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.

Примеры

Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде $\langle \rho,A \rangle$, где $\rho$ — основание системы счисления, а A — множество цифр. В частности, множество A может иметь вид:

• $B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},$
• $D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \},$ где $r_1, r_2\geq 0$ и $R =r_1+r_2+1$. При $r_1=0$ множество $D_R$ превращается в множество $B_R$.

Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j – мнимая единица):

• $\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.$^[6]
  • Пример: $\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;$
• $\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.$^[5]
  • Пример: $\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;$
• $\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;$ ^[7]
• $\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,$ где $\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}$, $\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}$ — целое положительное число, которое может принимать несколько значений при данном R;^[8]
• $\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,$ где множество $A_R^2$ состоит из комплексных чисел вида $r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2$, а числа $\alpha_m \in B_R.$ Например: $\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;$^[7]
• $\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,$ где $\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases}$ .^[9]

Двоичные комплексные системы счисления

Ниже перечислены основания двоичных позиционных систем счисления и представления чисел 2, -2 и -1 в них:

• $\rho=2$: $2=(10)_{\rho}$ (система счисления с натуральным основанием);
• $\rho=-2$: $2=(110)_{\rho}$, $-2=(10)_{\rho}$, $-1=11_{\rho}$ (нега-позиционная система счисления);
• $\rho=-\rho_2$: $2=(10100)_{\rho}$, $-2=(100)_{\rho}$, $-1=101_{\rho}$ (система счисления с комплексным основанием);
• $\rho=j\sqrt{2}$: $2=(10100)_{\rho}$, $-2=(100)_{\rho}$, $-1=(101)_{\rho}$ (система счисления с комплексным основанием);
• $\rho=-1+j$: $2=(1100)_{\rho}$, $-2=(11100)_{\rho}$, $-1=(11101)_{\rho}$ (система счисления с комплексным основанием);
• $\rho=\frac{-1+j\sqrt{2}}2$: $2=(1010)_{\rho}$, $-2=(110)_{\rho}$, $-1=(111)_{\rho}$ (система счисления с комплексным основанием).

Непоказательные системы счисления

Показательные системы счисления являются частным случаем позиционных систем счисления с показательной зависимостью. Вместо показательной зависимости могут быть другие зависимости. Например, гипероператорная позиционная система счисления
${\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop {b\mbox{ copies of }a}} \!\!\!\!\!\!\!{=a\to b\to 2 \atop {\ }}$ позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом знаков.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). (альтернативная ссылка)
2. ↑ См. Троичный компьютер.
3. ↑ С. Б. Гашков Системы счисления и их применение. — 2004. — 52 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-146-8
4. ↑ А. В. Никитин Система Бергмана.
5. ↑ ^{1 2} Хмельник С. И. Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами // Вопросы радиоэлектроники. — 1964. — В. 2. — Т. XII.
6. ↑ ^{1 2} Knuth D. E. (1960). «An Imaginary Number System». Communication of the ACM 3 (4): 245—247. DOI:10.1145/367177.367233.
7. ↑ ^{1 2} Хмельник С. И. Кодирование комплексных чисел и векторов. — Mathematics in Computers. — Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-74692-7
8. ↑ Хмельник С. И. Позиционное кодирование комплексных чисел // Вопросы радиоэлектроники. — 1966. — В. 9. — Т. XII.
9. ↑ Khmelnik S.I. Method and system for processing complex numbers. — Patent USA, US2003154226 (A1). — 2001.

Ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Позиционная система счисления»

• И. Яглом Системы счисления // Квант. — 1970. — № 6. — С. 2-10.
• Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления // Введение в информатику. Лабораторные работы / Авт.-сост. А. П. Шестаков. — Пермь: Перм. ун-т., 1999.
• Поспелов Д. А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. — Высшая школа. — 1970.