Двойное векторное произведение

Тройно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: двойное векторное произведение) $\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]$ векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — векторное произведение вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}:$

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right] = \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right].$

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным^[1] (по числу векторов), так и двойным^[2] (по числу операций умножения).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,

$\left[ \vec{a},[ \vec{b}, \vec{c} ]\right ] = \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \vec{b}\left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right),$

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Доказательство  

Выберем правый ортонормированный базис $\vec{e_1},~ \vec{e_2},~ \vec{e_3}$ так, чтобы

$\vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} + \alpha_3 \vec{e_3},$

$\vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2},$

$\vec{c} = \gamma_1 \vec{e_1}.$

Тогда

$\left[ \vec{b}, \vec{c} \right] = \left( 0, 0, -\beta_2\gamma_1 \right),$

$\left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right)$

и

$\vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) = \alpha_1\gamma_1\vec{b} - \left( \alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 \right) \vec{c} = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right).$

Таким образом,

$\left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right).$

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа

$\vec 0 = \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) + \vec{c} \left( \vec{b} \cdot \vec{a} \right) - \vec{a} \left( \vec{b} \cdot \vec{c} \right) + \vec{a} \left( \vec{c} \cdot \vec{b} \right) - \vec{b} \left( \vec{c} \cdot \vec{a} \right).$

Примечания

1. ↑ См., например, Weisstein, Eric W. Vector Triple Product (англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
2. ↑ См., например, М. Я. Выгодский, Справочник по высшей математике, М., 1977, стр. 156.

См. также

• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение