Ортодромия

Ортодрома делит сферу на две полусферы

Ортодромия, ортодрома (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения. В картографии и навигации — название геодезической линии кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки. В отличие от локсодромии ортодромия пересекает меридианы под разными углами. В судо- и самолётовождении, где Земля принимается за шар, ортодромия представляет собой дугу большого круга.

Экватор и меридианы являются частными случаями ортодромии. Через две точки на земной поверхности, расположенные не на противоположных концах одного диаметра Земли, можно провести только одну ортодромию.

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Параллели (за исключением экватора) не являются ортодромиями.

Расчёт ортодромии

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Длина, начальный и конечный азимуты, широты промежуточных точек ортодромии рассчитываются по следующим формулам (выводятся с помощью соотношений сферической тригонометрии)^[1].

Длина ортодромии: D= 111,12 * arccos(sinφ₁ * sinφ₂ + cosφ₁ * cosφ₂ * cos(λ₂ — λ₁)).

Начальный азимут: ctgα₁ = cosφ₁ tgφ₂ / sin(λ₂ — λ₁) — sinφ₁ / tg(λ₂ — λ₁).

Конечный азимут: ctgα₂ = sinφ₂ / tg(λ₂ — λ₁) — cosφ₂ tgφ₁ / sin(λ₂ — λ₁).

Широта промежуточной точки: φ = arctg((tgφ₁ * sin(λ₂ — λ)/sin(λ₂ — λ₁)) + (tgφ₂ * sin(λ — λ₁) / sin(λ₂ — λ₁)).

Обозначения: D — длина ортодромии, φ₁ — широта точки отбытия, λ₁ — долгота точки отбытия, φ₂ — широта точки прибытия, λ₂ — долгота точки прибытия, φ — широта промежуточной точки, λ — долгота произвольно взятой промежуточной точки ортодромии, 111,12 — длина дуги 1° меридиана (может быть выбрана иная величина).

Для примера возьмём перелёт из Внукова (координаты: 55°35′46″ с. ш., 37°16′03″в. д.) в Пулково (координаты: 59°48′01″ с. ш., 30°15′45″в. д.).

В десятичном выражении координаты точек отбытия и прибытия выглядят так: 55,596111, 37,2675 и 59,8002778, 30,2625. Длина дуги 1° меридиана — 111,3 км.

Находим длину ортодромии: sin55,596111 * sin59,8002778 + cos55,596111 * cos59,8002778 * cos(30,2625 — 37,2675) = 0,825075 * 0,864277 + 0,565023 * 0,5030158 * 0,9925355 = 0,71309335 + 0,282094 = 0,99518735. acos0,99518735 = 5,62346633. 5,62346633 * 111,3 = 625,892 км.

Находим начальный азимут: cos55,596111 tg59,8002778 / sin(30,2625 — 37,2675) — sin55,596111 / tg(30,2625 — 37,2675) = 0,565023 * 1,7181812 / (-0,121956)- 0,825075 / (-0,122873) = −7,9603455 + 6,71486 = −1,2454855. −1,2454855⁻¹ = −0,80289975. tg(-0,80289975) = −38,761° = 321,239°.

Находим конечный азимут: sin59,8002778 / tg(30,2625 — 37,2675) — cos59,8002778 * tg55,596111 / sin(30,2625 — 37,2675) = 0,864277 / (-0,122873) — 0,5030158 * 1,4602505 / (-0,121956) = −7,033905 — (-6,024605) = −1,0093. −1,0093⁻¹ = −0,990786. atg(-0,990786) = −44,73481 = 315,2652° или 315°15′55″.

В геометрии

В геометрии ортодромия — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения.

См. также

В Викисловаре есть статья «ортодромия»

• Картография
• Морская навигация
• Воздушная навигация
• Локсодрома

Примечания

1. ↑ Михайлов В.С., Кудрявцев В.Г., Давыдов В.С. 26.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания // Навигация и лоция. — Киев, 2009.

Ссылки

• Онлайн калькулятор : Путевые углы и расстояние между двумя точками на ортодроме