- Функционал Минковского
-
В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.
Содержание
Определение
Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества K определим функционал Минковского
как
Предполагается, что 0 ∈ K и множество {r > 0: x ∈ r K} непусто. При дополнительных условиях на K функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:
- Из выпуклости и симметричности следует субаддитивность , т.е.
- Однородность (μK(α x) = |α| μK(x) для всех α) достигается, если K - сбалансироанное множество, т.е. α K ⊂ K для всех |α| ≤ 1.
Свойства
Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств K, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в X и X*, так как обладает свойствами опорной функции в сопряженном пространстве. Пусть X - конечномерное евклидово пространство. Для любого множества K из X определим сопряженное множество K* из X* как множество, опорная функция s(p,K*) которого на векторах p из X совпадает с pK:
При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного K
Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство X** содержит элементы, не лежащие в X. Можно доопределить опорную функцию на K*, положив ее для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении X в X** образ K совпадает с K** (при выпуклости и сбалансированности).
Ссылки
Другие проявления двойственности Минковского:
- Преобразование Лежандра
- Опорный принцип
Литература
- Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
Категории:- Функциональный анализ
- Функционалы
- Герман Минковский
- Из выпуклости и симметричности следует субаддитивность , т.е.
Wikimedia Foundation. 2010.