Гиперсфера

Стереографическая проекция поверхности 3-сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3-сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера — гиперповерхность в $n$-мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

• при $n = 1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
• при $n = 2$ она представляет собой окружность;
• при $n = 3$ гиперсфера является сферой.
• при $n = 4$ гиперсфера является 3-сферой.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n-1)$-мерным подмногообразием в $n$-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}$ задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

$(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2$

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

$x = \rho \cdot \cos \alpha$

$y = \rho \cdot \sin \alpha$

а сферические координаты так:

$x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta$

$z = \rho \cdot \cos \beta$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

$x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$\dots$

$x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}$

Якобиан этого преобразования равен

$J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}$

Площадь и объем

Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности $~S_{n-1}$ гиперсферы размерности $~n-1$ и объем $~V_n$, ограниченный ею (объем шара), можно рассчитать по формулам ^{[1] [2]}:

$~ S_{n-1} = n C_n R^{n-1}$

$V_n = C_n R^n \$

где

$C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}$

а $~\Gamma(x)$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

$C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$

$C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}$

Здесь $~n!!$ — двойной факториал.

Так как

$~V_n / S_{n-1} = R / n$

$~S_{n+1}/V_n = 2\pi R$

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

$V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}$

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и объем принимают экстремальный размер для $S_{6}$ и $V_{5}$ соответственно.

Площади и объемы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объем)	4	5	6	7	8
Единичная сфера	$2 \pi$	$4 \pi$	$2 \pi^2$	$\frac{8}{3} \pi^2$	$\pi^3$	$\frac{16}{15} \pi^3$	$\frac{1}{3} \pi^4$	$\frac{32}{105} \pi^4$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар	$2$	$\pi$	$\frac{4}{3} \pi$	$\frac{1}{2} \pi^2$	$\frac{8}{15} \pi^2$	$\frac{1}{6} \pi^3$	$\frac{16}{105} \pi^3$	$\frac{1}{24} \pi^4$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

Топология гиперсферы

В данном разделе под сферой $S_n$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром $B_n$ — n-мерный гипершар, то есть $S_n \hookrightarrow \R^{n+1}$, $B_n \hookrightarrow \R^n$.

• Сфера $S_n$ гомеоморфна факторизации шара $B_{n}$ по его границе.
• Шар $B_n$ гомеоморфен факторизации $B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\})$.
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных $B_0 = \mathrm{pt}$ и $B_n$. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая $S_n$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные $B_n$, и сферу $S_{n-1}$, являющуюся их общей границей.

Примечания

1. ↑ Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, - т.5, с. 287, статья "Сфера" - формула объема n-мерной сферы
2. ↑ Л. А.Максимов, А. В.Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объема n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также

• Расслоение Хопфа

Ссылки

• Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов
• Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях